حل تمرین 1تا3 صفحه 127 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! **حد تابع در یک نقطه** ارتفاعی است که نمودار از چپ و راست به آن نزدیک می‌شود. --- ### ۱. محاسبه حدها | حد خواسته شده | تحلیل نمودار | مقدار | | :---: | :---: | :---: | | **الف) $\lim_{x \to ۰} f(x)$** | وقتی $x$ از چپ و راست به ۰ نزدیک می‌شود، نمودار به ارتفاع $\mathbf{۴}$ نزدیک می‌شود. | $\mathbf{۴}$ | | **ب) $\lim_{x \to ۲} f(x)$** | حد چپ ($x \to ۲^-$): نمودار به $(۲, ۲)$ نزدیک می‌شود. حد راست ($x \to ۲^+$): نمودار به $(۲, ۲)$ نزدیک می‌شود. | $\mathbf{۲}$ | | **پ) $\lim_{x \to ۵} f(x)$** | حد چپ ($x \to ۵^-$): نمودار به $(۵, ۳)$ نزدیک می‌شود. حد راست ($x \to ۵^+$): نمودار به $(۵, ۳)$ نزدیک می‌شود. | $\mathbf{۳}$ | | **ت) $\lim_{x \to ۴^-} f(x)$** | وقتی $x$ از چپ به ۴ نزدیک می‌شود، نمودار به $(۴, ۳)$ نزدیک می‌شود. | $\mathbf{۳}$ | | **ث) $\lim_{x \to ۲^+}$** | وقتی $x$ از راست به ۲ نزدیک می‌شود، نمودار به $(۲, ۲)$ نزدیک می‌شود. | $\mathbf{۲}$ | | **ج) $\lim_{x \to ۸} f(x)$** | حد چپ ($x \to ۸^-$): نمودار به $(۸, ۱)$ نزدیک می‌شود. حد راست ($x \to ۸^+$): نمودار به $(۸, ۱)$ نزدیک می‌شود. | $\mathbf{۱}$ | | **چ) $\lim_{x \to ۹} f(x)$** | حد چپ ($x \to ۹^-$): نمودار به $(۹, ۱)$ نزدیک می‌شود. حد راست ($x \to ۹^+$): تابع تعریف نشده است. | $\mathbf{وجود \text{ندارد}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! این تمرین مفهوم **حدود یک طرفه** را در یک نقطه مرزی ($x=۰$) تابع چندضابطه‌ای بررسی می‌کند. 💡 ### الف) حد چپ ($athbf{x \to ۰^-}$) * **ضابطه**: از ضابطه $\mathbf{f(x) = x^۲ + ۲x}$ (برای $x < ۰$) استفاده می‌کنیم. * **محاسبه**: $$\lim_{x \to ۰^-} f(x) = \lim_{x \to ۰^-} (x^۲ + ۲x) = (۰)^۲ + ۲(۰) = \mathbf{۰}$$ اگر $x$ از طرف چپ به عدد صفر نزدیک شود، آن‌گاه مقادیر $f(x)$ به عدد **۰** نزدیک می‌شوند. بنابراین: $$\mathbf{\lim_{x \to ۰^-} f(x) = ۰}$$ --- ### ب) حد راست در $x = ۰$ * **ضابطه**: از ضابطه $\mathbf{f(x) = ۲x + ۱}$ (برای $x > ۰$) استفاده می‌کنیم. * **محاسبه**: $$\lim_{x \to ۰^+} f(x) = \lim_{x \to ۰^+} (۲x + ۱) = ۲(۰) + ۱ = \mathbf{۱}$$ حد راست تابع $f$ در نقطه $x = ۰$ برابر **۱** است. --- ### پ) آیا تابع $f$ در نقطه $x = ۰$ حد دارد؟ چرا؟ * **شرط وجود حد**: حد تابع در یک نقطه زمانی وجود دارد که **حد چپ و حد راست** مساوی باشند. * **مقایسه**: $$\lim_{x \to ۰^-} f(x) = ۰ \quad \text{و} \quad \lim_{x \to ۰^+} f(x) = ۱$$ * **نتیجه**: $\mathbf{خیر}$، تابع $f$ در نقطه $x = ۰$ حد **ندارد**. * **دلیل**: چون **حد چپ** (۰) و **حد راست** (۱) تابع در $x=۰$ **مساوی نیستند**، حد دو طرفه وجود ندارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم برای حل این تمرین باید هر گزاره را برای هر نمودار بررسی کنیم. تمرکز بر رفتار نمودار در همسایگی $\mathbf{x = ۲}$ است. 📊 --- ### ۱. تابع در همسایگی محذوف ۲ تعریف شده و در این نقطه حد دارد. * **شرط**: $\lim_{x \to ۲} f(x)$ وجود دارد و تابع برای $x \ne ۲$ تعریف شده است. * **الف ($f$)**: $\lim = ۲$. $f(۲)=۱$. $\mathbf{\checkmark}$ * **ب ($g$)**: $\lim = ۲$. $g(۲)=۲$. $\mathbf{\checkmark}$ * **پ ($h$)**: $\lim = ۲$. $h(۲)$ تعریف نشده. $\mathbf{\checkmark}$ * **ت ($k$)**: $\lim \ne$ (حد چپ=۲، حد راست=۳). $\mathbf{\times}$ * **ث ($l$)**: $\lim = ۲$. $l(۲)$ تعریف نشده. $\mathbf{\checkmark}$ * **ج ($m$)**: $\lim = ۲$. $m(۲)=۱$. $\mathbf{\checkmark}$ --- ### ۲. تابع در همسایگی ۲ تعریف شده ولی مقدار حد با مقدار تابع در این نقطه برابر نیست. * **شرط**: $\lim_{x \to ۲} f(x) = L$، $f(۲) = L' uad \text{و } L \ne L'$. (ناپیوستگی برداشتنی با پرش مقدار) * **نمودار الف**: $\lim=۲$ و $f(۲)=۱$. $\mathbf{\checkmark}$ * **نمودار ج**: $\lim=۲$ و $m(۲)=۱$. $\mathbf{\checkmark}$ --- ### ۳. تابع در همسایگی چپ ۲ تعریف شده و در این نقطه حد ندارد. * **شرط**: $D_f$ شامل $(۲ - \delta, ۲)$ باشد و $\lim_{x \to ۲} f(x)$ وجود نداشته باشد. * **نمامودار ت**: $\lim_{x \to ۲^-} = ۲$ و $\lim_{x \to ۲^+} = ۳$. حد ندارد. $D_k$ شامل $(۲ - \delta, ۲)$ است. $\mathbf{\checkmark}$ --- ### ۴. تابع در همسایگی ۲ تعریف شده و حد آن برابر مقدار تابع در این نقطه است. * **شرط**: $\lim_{x \to ۲} f(x) = f(۲) = L$. (تابع پیوسته) * **نمودار ب**: $\lim=۲$ و $g(۲)=۲$. $\mathbf{\checkmark}$ --- ### ۵. تابع در نقطه ۲ تعریف شده ولی در این نقطه حد ندارد. * **شرط**: $f(۲)$ تعریف شده و $\lim_{x \to ۲} f(x)$ وجود ندارد. * **هیچ نموداری این شرط را ندارد**: نمودار ت حد ندارد ولی $k(۲)$ تعریف نشده. نمودار د حد ندارد ولی $p(۲)$ تعریف نشده. --- ### ۶. تابع در همسایگی راست ۲ تعریف شده ولی در این نقطه حد ندارد. * **شرط**: $D_f$ شامل $(۲, ۲+\delta)$ باشد و $\lim_{x \to ۲} f(x)$ وجود نداشته باشد. * **نمودار ت**: $\lim_{x \to ۲}$ وجود ندارد ولی $D_k$ شامل $(۲, ۲+\delta)$ است. $\mathbf{\checkmark}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! برای بررسی حد در یک نقطه مرزی دامنه، ابتدا باید خود **دامنه تابع** را تعیین کنیم. 🧠 --- ### ۱. تعیین دامنه تابع ($D_f$) تابع $f(x) = \sqrt{x^۲ - x}$ یک تابع رادیکالی است. عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $$x^۲ - x \ge ۰ \implies x(x - ۱) \ge ۰$$ **تعیین علامت**: * ریشه‌ها: $x=۰$ و $x=۱$. * دامنه: $athbf{D_f = (-\infty, ۰] \cup [۱, \infty)}$ ### ۲. بررسی حد چپ در $x = ۱$ * **حد چپ ($athbf{x \to ۱^-}$)**: یعنی $x$ از مقادیر **کوچکتر از ۱** به ۱ نزدیک می‌شود (مثلاً $۰.۹، ۰.۹۹، ots$). * **ناحیه همسایگی چپ ۱**: ناحیه $x < ۱$ در نزدیکی ۱، بازه $athbf{(۰, ۱)}$ است. * **نتیجه**: برای هر $x \in (۰, ۱)$، عبارت $x(x - ۱)$ **منفی** است (به عنوان مثال $۰.۵(۰.۵ - ۱) = -۰.۲۵$). * **دلیل**: چون عبارت زیر رادیکال برای $x$های نزدیک به ۱ از سمت چپ **منفی** است، تابع $f(x)$ در همسایگی چپ $x=۱$ **تعریف نشده** است. **نتیجه**: حد چپ تابع $f(x)$ در نقطه $x = ۱$ **وجود ندارد** (تابع تعریف نشده است).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! در این تمرین، باید رفتار تابع را در **همسایگی راست** $athbf{x = ۲}$ بررسی کنیم، مخصوصاً به دلیل وجود تابع **جزء صحیح** در مخرج. 🧠 --- ### ۱. بررسی مخرج و دامنه **شرط دامنه**: مخرج $\ne ۰$. $$[x] - ۲ \ne ۰ \implies [x] \ne ۲$$ * **ناحیه ممنوعه**: $[x] = ۲$ در بازه $athbf{[۲, ۳)}$ اتفاق می‌افتد. پس $athbf{x \in [۲, ۳)}$ در دامنه نیست. ### ۲. بررسی حد راست ($athbf{x \to ۲^+}$) * **مفهوم**: وقتی $x$ از مقادیر **بزرگتر از ۲** به ۲ نزدیک می‌شود (مثلاً $۲.۰۱, ۲.۰۰۱, ots$). * **ناحیه**: این ناحیه دقیقاً بازه $athbf{(۲, ۳)}$ است. * **نتیجه**: چون برای تمام $x \in (۲, ۳)$، $athbf{[x] = ۲}$ است، مخرج $athbf{[x] - ۲ = ۲ - ۲ = ۰}$ می‌شود. **نتیجه**: تابع $f(x)$ در **همسایگی راست $x=۲$ تعریف نشده** است (مخرج همیشه صفر است). **نتیجه نهایی**: حد راست تابع $f(x)$ در نقطه $x = ۲$ **وجود ندارد** (زیرا تابع در همسایگی راست تعریف نشده است).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! این تمرین تفاوت بین **حد تابع جزء صحیح** (الف) و **جزء صحیح حد تابع** (ب) را نشان می‌دهد. 🧠 --- ### ۱. تحلیل تابع اصلی و حد آن **تابع**: $f(x) = (x - ۱)^۲ + ۲$. (سهمی با رأس در $(۱, ۲)$). **الف) $\lim_{x \to ۱} f(x)$**: چون $f(x)$ یک تابع چندجمله‌ای است و در $x=۱$ پیوسته است، حد آن برابر با مقدار تابع است: $$\lim_{x \to ۱} f(x) = f(۱) = (۱ - ۱)^۲ + ۲ = \mathbf{۲}$$ --- ### ب) محاسبه حدود **۱. الف) $\lim_{x \to ۱} f$ (حد تابع جزء صحیح)**: * **مفهوم**: وقتی $x \ne ۱$ و $x \to ۱$، مقدار $f(x) = (x - ۱)^۲ + ۲$ **بزرگتر از ۲** است (چون $(x-۱)^۲ > ۰$). * **مقدار تابع**: $f(x)$ کمی بزرگتر از ۲ است (مثلاً $۲.۰۰۰۱$). * **جزء صحیح**: $f = [۲ + \epsilon] = \mathbf{۲}$ $$\mathbf{\lim_{x \to ۱} f = ۲}$$ **۲. ب) $[\lim_{x \to ۱} f(x)]$ (جزء صحیح حد تابع)**: * **مفهوم**: ابتدا حد را محاسبه کرده و سپس جزء صحیح آن را می‌گیریم. $$\lim_{x \to ۱} f(x) = ۲$$ $$\mathbf{[\lim_{x \to ۱} f(x)] = [۲] = ۲}$$ --- **نتیجه**: اگرچه جواب نهایی در این مورد (نزدیک شدن به عدد صحیح) برابر است، اما روش محاسبه آن‌ها متفاوت است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! تابع $\mathbf{f(x) = |x|}$ یک تابع بنیادی است که در همه جا پیوسته است. 💡 --- ### الف) محاسبه $\lim_{x \to ۰} |x|$ **۱. حد چپ ($athbf{x \to ۰^-}$)**: $|x| = -x$. $$\lim_{x \to ۰^-} |x| = \lim_{x \to ۰^-} (-x) = -۰ = \mathbf{۰}$$ **۲. حد راست ($athbf{x \to ۰^+}$)**: $|x| = x$. $$\lim_{x \to ۰^+} |x| = \lim_{x \to ۰^+} x = ۰ = \mathbf{۰}$$ **۳. نتیجه**: چون حد چپ و راست برابرند. $$\mathbf{\lim_{x \to ۰} |x| = ۰}$$ --- ### ب) آیا تساوی $\lim_{x \to a} |x| = |a|$ برقرار است؟ **۱. بررسی تساوی**: این تساوی بیان می‌کند که **حد تابع قدر مطلق در هر نقطه $a$، برابر با مقدار تابع قدر مطلق در آن نقطه** است. **۲. توجیه**: تابع $athbf{f(x) = |x|}$ در تمام نقاط $\mathbf{a \in \mathbb{R}}$ یک **تابع پیوسته** است (نمودار آن (شکل V) در هیچ نقطه‌ای حفره یا پرش ندارد). **۳. قانون پیوستگی**: برای توابع پیوسته، $\mathbf{\lim_{x \to a} f(x) = f(a)}$. $$\mathbf{\lim_{x \to a} |x| = |a|}$$ **نتیجه**: $\mathbf{بله}$، تساوی $\lim_{x \to a} |x| = |a|$ برای هر $\mathbf{a \in \mathbb{R}}$ **برقرار است**.